Álgebra lineal Ejemplos

${| p + q |}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Elimina el valor absoluto en ${| p + q |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

${(p + q)}^{2} + {| p - q |}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 1.2

Elimina el valor absoluto en ${| p - q |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 {| p |}^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Elimina el valor absoluto en ${| p |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 {| q |}^{2}$

Paso 2.2

Elimina el valor absoluto en ${| q |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} = 2 p^{2} + 2 q^{2}$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $p$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $2 p^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

${(p + q)}^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe ${(p + q)}^{2}$ como $(p + q) (p + q)$ .

$(p + q) (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.2

Expande $(p + q) (p + q)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p (p + q) + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p \cdot p + p q + q (p + q) + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p \cdot p + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Multiplica $p$ por $p$ .

$p^{2} + p q + q p + q \cdot q + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $q$ por $q$ .

$p^{2} + p q + q p + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3.2

Suma $p q$ y $q p$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Reordena $q$ y $p$ .

$p^{2} + p q + p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.3.2.2

Suma $p q$ y $p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + {(p - q)}^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.4

Reescribe ${(p - q)}^{2}$ como $(p - q) (p - q)$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + (p - q) (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.5

Expande $(p - q) (p - q)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p (p - q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q (p - q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p \cdot p + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.6.1.1

Multiplica $p$ por $p$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} + p (- q) - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - q (- q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q \cdot q - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.4

Multiplica $q$ por $q$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.6.1.4.1

Mueve $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 (q \cdot q) - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.4.2

Multiplica $q$ por $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p - 1 \cdot - 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + 1 q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.1.6

Multiplica $q^{2}$ por $1$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - q p + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.2

Resta $q p$ de $- p q$ .

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Paso 3.2.6.2.1

Mueve $q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - p q - 1 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.2.6.2.2

Resta $p q$ de $- p q$ .

$p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.3

Combina los términos opuestos en $p^{2} + 2 p q + q^{2} + p^{2} - 2 p q + q^{2} - 2 p^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Resta $2 p q$ de $2 p q$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + 0 + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.3.2

Suma $p^{2} + q^{2} + p^{2}$ y $0$ .

$p^{2} + q^{2} + p^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.4

Suma $p^{2}$ y $p^{2}$ .

$2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.5

Combina los términos opuestos en $2 p^{2} + q^{2} + q^{2} - 2 p^{2}$ .

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Paso 3.5.1

Resta $2 p^{2}$ de $2 p^{2}$ .

$q^{2} + q^{2} + 0 = 2 q^{2}$

Paso 3.5.2

Suma $q^{2} + q^{2}$ y $0$ .

$q^{2} + q^{2} = 2 q^{2}$

Paso 3.6

Suma $q^{2}$ y $q^{2}$ .

$2 q^{2} = 2 q^{2}$

Paso 4

Divide cada término en $2 q^{2} = 2 q^{2}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $2 q^{2} = 2 q^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 q^{2}}{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.2.1.2

Divide $q^{2}$ por $1$ .

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común.

$q^{2} = \frac{2 q^{2}}{2}$

Paso 4.3.1.2

Divide $q^{2}$ por $1$ .

$q^{2} = q^{2}$

Paso 5

Como los exponentes son iguales, las bases de los exponentes en ambos lados de la ecuación deben ser iguales.

$| q | = | q |$

Paso 6

Resuelve $q$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$q = q$

$q = - q$

$- q = q$

$- q = - q$

Paso 6.2

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$q = q$

$q = - q$

Paso 6.3

Resuelve $q = q$ en $q$ .

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Paso 6.3.1

Mueve todos los términos que contengan $q$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.3.1.1

Resta $q$ de ambos lados de la ecuación.

$q - q = 0$

Paso 6.3.1.2

Resta $q$ de $q$ .

$0 = 0$

Paso 6.3.2

Como $0 = 0$ , la ecuación siempre será verdadera.

Siempre verdadero

Paso 6.4

Resuelve $q = - q$ en $q$ .

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Paso 6.4.1

Mueve todos los términos que contengan $q$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.4.1.1

Suma $q$ a ambos lados de la ecuación.

$q + q = 0$

Paso 6.4.1.2

Suma $q$ y $q$ .

$2 q = 0$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $2 q = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $2 q = 0$ por $2$ .

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 q}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.2.2.1.2

Divide $q$ por $1$ .

$q = \frac{0}{2}$

Paso 6.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$q = 0$

Paso 6.5

Enumera todas las soluciones.

$q = 0$

Paso 7

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 8